ao=1
a1 = 1 + 1 / a0 = 1 + 1 = 2
a2 = 1 + 1 / a1 = 1 + 1/2 = 3/2
a3 = 1 + 1 / a2 = 1 + 2/3 = 5/3
a4 = 1 + 3/5 = 8/5 etc.
wenn ein Folgenglied an positiv ist, dann ist 1 / an auch positiv
und 1 + 1 / an auch. Da a0 positiv ist, also auch alle anderen.
an+2 = 1 + 1/ an+1 = 1 + 1 / ( 1 + 1/an ) = 1 + 1 / (( an+1)/an )
= 1 + an / ( an+1)
= ( an+1) / ( an+1) + an / ( an+1)
= (2an+1) / ( an+1)
(2an+1) / ( an+1) > an
2an+1 > an * ( an+1)
0 > an * ( an+1) - ( 2an+1 )
0 > an2 +an - 2an - 1
0 > an2 - an - 1
und die Ungelichung x^2 - x -1 > 0 hat die Lösungen x > (wurzel(5)+1) / 2
oder x < (- wurzel(5)+1) / 2, aber wegen an> 0 gilt nur die erste.