zeige: Multiplikation zweier El. von W gibt wieder eines, etwa so
(cos( 2k*pi/d) + i* sin( 2k*pi/d) )*(cos( 2h*pi/d) + i* sin( 2h*pi/d) )
= cos( 2k*pi/d)*(cos( 2h*pi/d) + (cos( 2k*pi/d)* i* sin( 2h*pi/d)
+ i* sin( 2k*pi/d)*cos( 2h*pi/d) - sin( 2k*pi/d)*sin( 2h*pi/d)
= wegen Add. theorem
cos( 2(k+h)*pi/d) + i* sin( 2(k+h)*pi/d)also wieder in W.
ebenso ist das neutrale El. 1 + i*0 in W ( nämlich für k=0).
und zu jedem cos( 2k*pi/d) + i* sin( 2k*pi/d) auch das Inverse
cos( 2(-k)*pi/d) + i* sin( 2(-k)*pi/d).
b) Die Abb, F die jedem cos( 2k*pi/d) + i* sin( 2k*pi/d)
das k zuordnet ist der Isomorphismus.
Ist wohldefiniert, da für k und k+n*d die gleichen Elemente entstehen;
denn cos( 2(k+nd)*pi/d) + i* sin( 2(k+nd)*pi/d)
= cos( 2k*pi/d + 2nd*pi/d ) + i* sin( 2k*pi/d +2nd*pi/d)
= cos( 2k*pi/d ) + i* sin( 2k*pi/d ) wegen der 2pi-Periodizität
von sin und cos.
Homomorphie folgt aus der Überlegung von a)
Denn F (cos( 2k*pi/d) + i* sin( 2k*pi/d) )*(cos( 2h*pi/d) + i* sin( 2h*pi/d) )
= F ( cos( 2(k+h)*pi/d) + i* sin( 2(k+h)*pi/d) )
= k+h
= F (cos( 2k*pi/d) + i* sin( 2k*pi/d))+ F (cos( 2h*pi/d) + i* sin( 2h*pi/d))
Injektivität folgt aus der ( mod 2pi) eindeutigen Darstellung mit
cos( 2k*pi/d) + i* sin( 2k*pi/d)
und Surjekivität durch betrachten von
cos( 2k*pi/d) + i* sin( 2k*pi/d) für k=0 bis d-1.