Ja, du musst den Beweis für jedes Gruppenelment durchführen. Das macht man normalerweise in einem Rutsch. Deshalb fängt ein solcher Beweis normalerweise so an: "Sei g ein beliebiges Gruppenelment.".
Im konkreten Fall geht es dann so weiter: Ferner seien g' und g'' zu g inverse Elemente. Dann gilt
g◦g'=1 und g◦g''=1
=> g◦g'=g◦g''
=> g'◦(g◦g')=g'◦(g◦g'')
=> (g'◦g)◦g'=(g'◦g)◦g''
=> 1◦g'=1◦g''
=> g'=g''.