Hier die Sache ist doch ganz einfach; wir haben hier ein beliebiges n-Eck. Ausgehend von dem ( an sich beliebigen ) Koordinatenursprung O ( O ist uns ja gegeben; das Ergebnis hängt aber nicht von O ab ) zerlege ich das n-Eck in die Teildreiecke
OAB ; OBC ; OCD ; ODA ( 1 )
und jedes einzelne wird mit Kreuzprodukt berechnet. Die Summe der vier orientierten Dreiecke ergibt einen resultierenden Vektor, welcher auf der Trapezfläche senkrecht steht.
D.h. aber Im Anschluss an die Flächenberechnung müssen wir rechtfertigen, dass die 4 Punkte A-D tatsächlich in einer Ebene liegen.
1/2 A X B = 1/2 ( 1 / 1 / 2 ) X ( 3 / 5 / -2 ) = ( 2a )
= 1/2 ( - 12 | 8 | 2 ) ( 2b )
zur Kontrolle
http://rechneronline.de/lineare-algebra/vektoren.php
1/2 B X C = 1/2 ( 3 / 5 / -2 ) X ( 2 / 3 / 2 ) = ( 3a )
= 1/2 ( 16 | - 10 | - 1 ) ( 3b )
1/2 C X D = 1/2 ( 2 / 3 / 2 ) X ( -4 / -9 / 14 ) = ( 4a )
= 1/2 ( 60 | - 36 | - 6 ) ( 4b )
1/2 D X A = 1/2 ( -4 / -9 / 14 ) X ( 1 / 1 / 2 ) = ( 5a )
= 1/2 ( - 32 | 22 | 5 ) ( 5b )
F ( ges ) = 8 ( 2 | - 1 | 0 ) ( 6a )
| F | = 8 sqr ( 5 ) ( 6b )
Hurra; meine Lösung stimmt. Woher ich das weiß? Wir wollten doch zeigen, dass dieses Trapez eine ebene Figur ist
E ( x ; y ; z ) := a x + b y + c z = k = const ( 7a )
Statt der einen Ebene E betrachte mal eine parallele EbenenSCHAR in Abhängigkeit des Scharparameters k . Dann hat es Sinn, nach dem Gradienten der Niveauflächenschar E zu fragen.
grad ( E ) = ( dE/dx | dE/dy | dE/dz ) = ( a | b | c ) ( 7b )
D.h. die Koeffizienten von ( 7a ) kannst du unmittelbar aus den Komponentern des Gradienten ( 7b ) ablesen.
Nun steht aber der Gradient senkrecht auf E; das Selbe trifft auch auf den Vektor F in ( 6a ) zu. Somit hast du für die Ebene durch A-D
E = 2 x - y ( 8 )
OAB ; OBC ; OCD ; ODA ( 1 )
und jedes einzelne wird mit Kreuzprodukt berechnet. Die Summe der vier orientierten Dreiecke ergibt einen resultierenden Vektor, welcher auf der Trapezfläche senkrecht steht.
D.h. aber Im Anschluss an die Flächenberechnung müssen wir rechtfertigen, dass die 4 Punkte A-D tatsächlich in einer Ebene liegen.
1/2 A X B = 1/2 ( 1 / 1 / 2 ) X ( 3 / 5 / -2 ) = ( 2a )
= 1/2 ( - 12 | 8 | 2 ) ( 2b )
zur Kontrolle
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1/2 B X C = 1/2 ( 3 / 5 / -2 ) X ( 2 / 3 / 2 ) = ( 3a )
= 1/2 ( 16 | - 10 | - 1 ) ( 3b )
1/2 C X D = 1/2 ( 2 / 3 / 2 ) X ( -4 / -9 / 14 ) = ( 4a )
= 1/2 ( 60 | - 36 | - 6 ) ( 4b )
1/2 D X A = 1/2 ( -4 / -9 / 14 ) X ( 1 / 1 / 2 ) = ( 5a )
= 1/2 ( - 32 | 22 | 5 ) ( 5b )
F ( ges ) = 8 ( 2 | - 1 | 0 ) ( 6a )
| F | = 8 sqr ( 5 ) ( 6b )
Hurra; meine Lösung stimmt. Woher ich das weiß? Wir wollten doch zeigen, dass dieses Trapez eine ebene Figur ist
E ( x ; y ; z ) := a x + b y + c z = k = const ( 7a )
Statt der einen Ebene E betrachte mal eine parallele EbenenSCHAR in Abhängigkeit des Scharparameters k . Dann hat es Sinn, nach dem Gradienten der Niveauflächenschar E zu fragen.
grad ( E ) = ( dE/dx | dE/dy | dE/dz ) = ( a | b | c ) ( 7b )
D.h. die Koeffizienten von ( 7a ) kannst du unmittelbar aus den Komponentern des Gradienten ( 7b ) ablesen.
Nun steht aber der Gradient senkrecht auf E; das Selbe trifft auch auf den Vektor F in ( 6a ) zu. Somit hast du für die Ebene durch A-D
E = 2 x - y ( 8 )