Hallo,
Man erkennt bei dir brauchbare Ansätze, aber die Ausführung ist noch fehlerhaft.
Kann kann den Beweis so formulieren:
Vermuteter Grenzwert 1.
zu zeigen: \(\lim_{n \to oo} \) \(\frac{n^2+5}{n^2-4}\) = 1
⇔: Für alle ε∈ℝ+ gibt es N(ε): | \(\frac{n^2+5}{n^2-4}\) - 1 | < ε falls n > N(ε)
Nachweis:
Sei ε∈ℝ+ beliebig aber fest.
Wähle N(ε) := √ (9/ε + 4) +1 [ Begründung ergibt sich unten ]
dann gilt: | \(\frac{n^2+5}{n^2-4}\) - 1 | = | \(\frac{n^2+5}{n^2-4}\) - \(\frac{n^2-4}{n^2-4}\) | = | \(\frac{9}{n^2-4}\) |
= \(\frac{9}{n^2-4}\) wenn man N > 2 wählt
es bleibt zu zeigen: \(\frac{9}{n^2-4}\) < ∈ für genügend großes n∈ℕ:
⇔ 9 < ε • (n2 - 4) ⇔ n2 > 9/ε + 4 ⇔ n > √ (9/ε + 4)
Gruß Wolfgang