Hallo,
um mal den Stein ins Rollen zu bringen, kurz die Vorgehensweise bei a) für die positive Definitheit von \(d_1\).
Seien \(x,y \in \mathbb{R}^2\), also \(x = (x_1,x_2) \) und \(y = (y_1,y_2)\). Dann ist
$$ d(x,y) = \|x-y\|_1 =|x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| \geq 0$$
\(d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x_1 - y_1 = 0 \wedge x_2 - y_2 = 0 \Leftrightarrow x = y \).
Gruß