Für die Maßzahl der Rechtechfläche gilt: A(x,y) = x • y [ x,y in Metern, x senkrecht, y parallel zum Fluss]
1) Nebenbedingung: 2x + 2y = 100 -> y = 50 - x
A(x) = x • (50 - x) = 50x - x2
A ' (x) = 50 - 2x = 0 -> x = 25 mit VZW von A' von + -> - -> Maximalstelle
-> y = 50 - 25 = 25
Es ergibt sich also die bekannte Tatsache, dass das Quadrat mit Umfang 100m hier
die maximale Fläche 625 m2 hat.
2) Nebenbedingung: 2x + y =100 [ eine y-Seite ersetzt der Fluss ] -> y = 100 - 2x
A(x) = x • (100 - 2x ) = 100x - 2x2
A'(x) = 100 - 4x = 0 -> x = 25 mit VZW von A' von + -> - -> Maximalstelle
-> y = 100 - 2 • 25 = 50
Maximaler Flächeninhalt: 1250 m2
3) Ich gehe davon aus, dass die Mauer nicht am Fluss steht :-) [ sonst wie 2) ]
3.1) Mauer senkrecht zum Fluss:
Analog zu 2) mit Nebenbedingung 2x + y = 120
3.2) Mauer parallel zum Fluss im Abstand a vom Fluss:
x = a ist durch die Mauer festgelegt.
Nebenbedingung: 2a + y = 120 -> y = 120 - 2a
-> A(a) = a • (120 - 2a) = 120 a - 2a2
Die Verwendung der Mauer ist nur für A(a) ≥1250 sinvoll
120 a - 2a2 ≥ 1250 <=> 13.41687604 ≤ a ≤ 46.58312395