Aloha :)
In \((0001'1111)_2\) sind die Bits von 0 bis 4 gesetzt. Eine \(1\) dazu addiert ergibt \((0010'0000)_2\), das heißt die Bits 0 bis 4 werden gelöscht, dafür wird Bit 5 gesetzt. Formal haben wir folgende Situation:
$$\left(\sum\limits_{i=0}^{4}2^i\right)+1=2^5\quad\Leftrightarrow\quad\sum\limits_{i=0}^{4}2^i=2^5-1$$Mit dieser Idee ist sofort klar:
$$\sum\limits_{i=0}^{n-1}2^i=2^n-1$$