Du hast dich bei der Umformung am Anfang der letzten Zeile (mit dem ausgegrauten Quadrat über dem Gleichheitszeichen) vertan. Ich würde wie folgt umformen:

$$\lim\limits_{x\to\infty}\left[x\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\right]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{\ln\left(1+\frac{2}{x-1}\right)}{\frac{1}{x}}\right]\stackrel{L'Hosp.}{=}\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{\frac{1}{1+\frac{2}{x-1}}\cdot\frac{-2}{(x-1)^2}}{-\frac{1}{x^2}}\right]$$$$=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{\frac{-2}{(x-1)^2+2(x-1)}}{-\frac{1}{x^2}}\right]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{2x^2}{(x-1)^2+2(x-1)+1-1}\right]$$$$=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{2x^2}{\left[(x-1)+1\right]^2-1}\right]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{2x^2}{x^2-1}\right]=2\cdot\lim\limits_{x\to\infty}\left[1+\frac{1}{x^2-1}\right]=2$$

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Kommentiert: Benötige Hilfe bei Umformung

February 1, 2020, 3:41 am

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Also nur das Foto beachten. Keine Ahnung was da das Programm noch eingefügt hat.

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Kommentiert: Gegeben ist die Funktion f(x)=1,8*(x-3)²+4

February 1, 2020, 3:44 am

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Ich denke es ist ein hinweis wie die Lösung anzugeben ist!

Gefordert ist meiner Meinung nach die allgemeine Form der quadratischen Funktionsgleichung.

Daher hätte ich die Funktion wie gewollt zuerst modifiziert und dann ausmultipliziert.

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Antwort bearbeitet: Abiturprüfungen von 2019?

February 1, 2020, 3:51 am

≫ Next: Beantwortet: Zeigen Sie, dass genau dann a×b=0 gilt, wenn a und b linear abhängig sind.

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Im Internet ist sie für 2019 noch nicht verfügbar. Die Nachschreibeklausuren von Berlin werden generell nicht im Internet veröffentlicht.

Die Fachlehrer und Verlage haben die Aufgaben aber bereits. Wenn du eine spezielle Frage dazu hast kann ich dir weiterhelfen. Weiterleiten darf ich dir die Aufgaben leider nicht.

https://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/abituraufgaben-2011

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Beantwortet: Zeigen Sie, dass genau dann a×b=0 gilt, wenn a und b linear abhängig sind.

February 1, 2020, 4:06 am

≫ Next: Beantwortet: Trigonometrie Tiefenwinkel

≪ Previous: Antwort bearbeitet: Abiturprüfungen von 2019?

Wann sind die Vektoren [a1, a2] und [b1, b2] linear abhängig. Was müsste dann gelten?

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Beantwortet: Trigonometrie Tiefenwinkel

February 1, 2020, 4:14 am

≫ Next: Beantwortet: Erstellen von Exponentialfunktionen mit ln

≪ Previous: Beantwortet: Zeigen Sie, dass genau dann a×b=0 gilt, wenn a und b linear abhängig sind.

TAN(13.5°) = x/h
TAN(21.3°) = x/(h - 15)

Ich komme auf die Lösung: x = 9.372 m ∧ h = 39.04 m

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Beantwortet: Erstellen von Exponentialfunktionen mit ln

February 1, 2020, 4:21 am

≫ Next: Antwort ausgewählt: Bestimmen sie die Basis von ker(f) und im(f)

≪ Previous: Beantwortet: Trigonometrie Tiefenwinkel

f(t) = (190 - 20)*((145 - 20)/(190 - 20))^(t/4) + 20

f(t) = 170·e^(- 0.07687·t) + 20

190·(1 - 0.25) = 142.5

f(t) = (190 - 20)*((142.5 - 20)/(190 - 20))^(t/10) + 20

f(t) = 170·e^(- 0.03277·t) + 20

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Antwort ausgewählt: Bestimmen sie die Basis von ker(f) und im(f)

February 1, 2020, 4:28 am

≫ Next: Beantwortet: Matrix Aufgabe verstehen

≪ Previous: Beantwortet: Erstellen von Exponentialfunktionen mit ln

Du hast 4 Variable und nur 2 lin. unabh. Gleichungen.

Da kannst du 2 frei wählen, etwa x3=s und x4=t und bekommst

dann x2= -2s -3t

Alles einsetzen in

x1+4x2+7x3+10x4=0 gibt

x1 = -4(-2s-3t) -7s - 10t = s + 2t

also sehen die Elemente im Kern so aus

( s + 2t ; -2s -3t ; s ; t )

= s*( 1 ; -2 ; 1 ; 0 ) + t* ( 2 ; -3 ; 0 ; 1 )

und damit ist {( 1 ; -2 ; 1 ; 0 ) , ( 2 ; -3 ; 0 ; 1 ) }

eine Basis des Kerns.

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Beantwortet: Matrix Aufgabe verstehen

February 1, 2020, 4:29 am

≫ Next: Antwort bearbeitet: Was ist die Extremsten von f(x)= e^2x-2e^x-12x

≪ Previous: Antwort ausgewählt: Bestimmen sie die Basis von ker(f) und im(f)

Du sollst die Potenzen von der Matrix A ermitteln.

[a, 1, 0, 0; 0, a, 1, 0; 0, 0, a, 1; 0, 0, 0, a]^2 = [a^2, 2·a, 1, 0; 0, a^2, 2·a, 1; 0, 0, a^2, 2·a; 0, 0, 0, a^2]

[a, 1, 0, 0; 0, a, 1, 0; 0, 0, a, 1; 0, 0, 0, a]^3 = [a^3, 3·a^2, 3·a, 1; 0, a^3, 3·a^2, 3·a; 0, 0, a^3, 3·a^2; 0, 0, 0, a^3]

[a, 1, 0, 0; 0, a, 1, 0; 0, 0, a, 1; 0, 0, 0, a]^4 = [a^4, 4·a^3, 6·a^2, 4·a; 0, a^4, 4·a^3, 6·a^2; 0, 0, a^4, 4·a^3; 0, 0, 0, a^4]

Weißt du wie du zwei Matritzen miteinander multiplizierst? Ich empfehle das Falksche Schema dafür.

A^2 = A * A

Du brauchst A also zuerst nur mit sich selbst zu multiplizieren. Dann solltest Du A^2 nachvollziehen und dann A^3 berechnen.

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Antwort bearbeitet: Was ist die Extremsten von f(x)= e^2x-2e^x-12x

February 1, 2020, 4:42 am

≫ Next: Kommentiert: Wahrscheinlichkeitsverteilung.

≪ Previous: Beantwortet: Matrix Aufgabe verstehen

Hallo,

$ \begin{array}{rl}{y^{\prime}=} & {2 e^{2 x}-2 e^{x}-12=0} \\ {2\left(e^{x}-3\right)\left(e^{x}+2\right)=0} & {1|: 2} \\ {\left(e^{x}-3\right)\left(e^{x}+2\right)=0}\end{array} $

Satz vom Nullprodukt :
$$ \begin{array}{l} {e^{x}-3=0 \quad \Rightarrow x=\ln (3)} \\ {e^{x}+2=0 \quad \Rightarrow \text { keine Lösung } \text { }} \end{array} $$

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Kommentiert: Wahrscheinlichkeitsverteilung.

February 1, 2020, 4:44 am

≫ Next: Kommentiert: Höchste Primzahl ermitteln

≪ Previous: Antwort bearbeitet: Was ist die Extremsten von f(x)= e^2x-2e^x-12x

Schau mal in meine Lösung für b!

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Kommentiert: Höchste Primzahl ermitteln

February 1, 2020, 4:47 am

≫ Next: Bearbeitet: Von Zeilensummennorm über Spaltensummennorm zu Konditionszahl erläutern?

≪ Previous: Kommentiert: Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Hast du die Lösung anders als durch einfaches Probieren gefunden ?

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Bearbeitet: Von Zeilensummennorm über Spaltensummennorm zu Konditionszahl erläutern?

February 1, 2020, 4:48 am

≫ Next: Heranführung an den Ableitungsbegriff

≪ Previous: Kommentiert: Höchste Primzahl ermitteln

Hilfe bei "Erklären" und "Erläutern" - Aufgabe

hallo

gegeben seien folgende Informationen:

Spaltensummennorm:

$ \|A\|_{1}=\max _{j=1, \ldots, n} \sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k, j}\right| $,

Zeilensummennorm:

$ \|A\|_{\infty}=\max _{k=1, \ldots, n} \sum \limits_{j=1}^{n}\left|a_{k, j}\right| $.

ein LGS Ax = y mit

$ A=\left(\begin{array}{cc}{10^{-5}} & {1} \\ {1} & {1}\end{array}\right) $

und ein LGS mit Rx = y° mit

$ R=\left(\begin{array}{cc}{10^{-5}} & {1} \\ {0} & {99999}\end{array}\right) $

Konditionszahl ist definiert durch (hier speziell die || * |_∞-Norm|):

$ \kappa(A)=\|A\|_{\infty}\left\|A^{-1}\right\|_{\infty} $

also allgemein: k(A) = ||A|| * ||A^-1||

Die Aufgabe lautet nun:

(a) Bestimmen sie für die Matrix $ A $ die Konditionszahlen $ \kappa_{1}(A) $ und $ \kappa_{\infty}(A) $ bezüglich der $ \|\cdot\|_{1}- $ bzw. der $ \|\cdot\|_{\infty}- $ Norm. Erläutern Sie, was diese Zahlen für die zu erwartende Genauigkeit der Lösung bedeutet, wenn eine relative Eingabegenauigkeit von $ \frac{\|y-\tilde{y}\|}{\|y\|}<0,5 \cdot 10^{-6} $ bezüglich der jeweils betrachteten Norm garantiert ist.
(b) Bestimmen Sie auch die Konditionszahlen $ \kappa_{1}(R) $ und $ \kappa_{\infty}(R) $
(c) Erklären Sie anhand Ihrer Ergebnisse in (a) und (b) in eigenen Worten, warum das Vorgehen, das System mit der erweiterten Koeffizientenmatrix $ [A | b] $ durch das System $ [R | \hat{y}] $ zu ersetzen, aus numerischer Sicht problematisch ist, und benennen Sie eine Alternative.

für (b) habe ich für k_∞(R) und k₁(R) rund 10¹⁰ raus. (ich sehe zwischen Spaltensummen- und Zeilensummennorm an dieser Matrix keinen großen Unterschied.)

bei (a) könnte ich auch die Konditionszahlen bestimmen, aber ich kann die "Erläutern" (a) und "Erklären"(c)-Aufgaben nicht.

Riesen Danke für Eure Antworten.

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Heranführung an den Ableitungsbegriff

February 1, 2020, 4:50 am

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≪ Previous: Bearbeitet: Von Zeilensummennorm über Spaltensummennorm zu Konditionszahl erläutern?

Ein Wanderer geht in hügeligem Gelände von A nach B.

In den die Positionen 1 und 3 geht er weder bergauf noch bergab. In der Position 2 geht er bergab und in der Position 4 geht er bergauf.
Sowohl umgangssprachlich als auch mathematisch spricht man von verschiedenen Steigungen auf den Wege des Wanderers. Eine „Steigung bergab“ heißt in der Mathematik „negative Steigung“. In den Positionen 1 und 3 spricht man mathematisch von der „Steigung 0“. Jeder Steigung wird in er Mathematik ein Zahlenwert zugeordnet. Dabei wird jede Kurve als ein Schnitt durch ein Gelände gesehen, das von links nach rechts durchwandert wird.

Um den Zahlenwert einer Steigung an einer Stelle der Kurve zu bestimmen, erinnern wir uns an den Zahlenwert der Steigung einer Geraden. Im Koordinatensystem haben wir diesen Wert mit Hilfe eines sogenannten Steigungsdreiecks bestimmt. Dabei wurden die Längen der zu den Koordinatenachsen parallelen Katheten des Steigungsdreiecks als Differenz zweier y-Werte bzw. als Differenz zweier x-Koordinaten berechnet und durcheinander dividiert.

Auf diese Weise entsteht ein sogenannter Differenzenquotient (hier): $ \frac{Differenz der y-Werte}{Differenz der x-Koordinaten} $ =$ \frac{5-2}{4-0} $ =$ \frac{3}{4} $ . Man sagt: „Der Differenzenquotient ist gleich der Steigung der Geraden“.

Wenn keine Geraden betrachtet werden, soll die Steigung in einem Punkt gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt sein. (Die Tangente an eine Kurve in einem Punkt der Kurve hat mit der Kurve in der Nähe des Punktes nur diesen Punkt gemeinsam (siehe Abbildung).

Die waagerechte Kathete des Steigungsdreiecks ist hier (geschätzt) dreimal so lang, wie die senkrechte. Der Betrag der Steigung ist also 1/3 und da es im Punkt P abwärts geht, ist der geschätzte Wert der Steigung im Punkt P gleich -1/3.
Nun ist die Tangente an eine Kurve mit großer Exaktheit nicht ganz einfach zu bestimmen. Die Tangente findet man am besten über einen Näherungsprozess nach dem Prinzip: Die Tangente ist die Grenzlage der Sekante, bei der die beiden Schnittpunkte zwischen Kurve und Sekante in einem Punkt zusammenfallen.

An Stelle der Tangentensteigung kann man auch zunächst eine Sekantensteigung betrachten (siehe unten).

Diese ist mit etwa – 1 deutlich kleiner als die Tangentensteigung, die in Abbildung zuvor geschätzt werden konnte. Aber je kleiner wir die waagerechte Kathete der Sekantensteigung wählen, desto näher kommt die Sekantensteigung der Tangentensteigung. In der Abbildung unten

ist die waagerechte Kathete h der Sekantensteigung kleiner als in der Abbildung zuvor und die Steigung der Sekante kommt der zuerst geschätzten Tangentensteigung näher.

Man sagt: „Die Tangentensteigung ist der Grenzwert der Sekantensteigungen für h gegen Null.“ Mit Hilfe der Skizze unten

soll die Tangentensteigung der Parabel mit der Gleichung y=x² im Punkt (1|1) angenähert werden. Das größte der drei Steigungsdreiecke im Bild oben hat den Differenzenquotienten $ \frac{f(1+h_3)-f(1)}{h_3} $ =$ \frac{6,25-1}{2,5-1} $ =$ \frac{7}{2} $ . Das mittlere der drei Steigungsdreiecke im Bild oben hat den Differenzenquotienten $ \frac{f(1+h_2)-f(1)}{h_2} $ =$ \frac{4-1}{2-1} $ =3. Und das kleinste der drei Steigungsdreiecke im Bild oben hat den Differenzenquotienten $ \frac{f(1+h_1)-f(1)}{h_2} $=$ \frac{2,25-1}{1,5-1} $ =$ \frac{5}{2} $ .

Einfacher ist es (nicht nur hier), keine konkreten Zahlen einzusetzen, sondern den Differenzenquotienten allgemein zu berechnen:
$ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $ =$ \frac{(x+h)^2-x^2}{h} $ =$ \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} $ =$ \frac{2xh+h^2}{h} $ =$ \frac{h(2x+h)}{h} $ =2x+h.
Für h=0 ist dann der Differenzenquotient allgemein gleich 2x und für x=1 ergibt sich die Steigung 2 im Punkt (1|1) der Parabel mit der Gleichung f(x)=x².

Für eine beliebige Funktion f lautet der Differenzenquotient an der Stelle x: $ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $.
Zu einer Funktion f heißt der Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle x₁ für h gegen 0 auch „Steigung“ des Graphen von f an der Stelle x₁. Formal f '(x₁ )=$ \lim\limits_{h\to0} $$ \frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h} $ .
Die Begriffe
- Steigung des Graphen einer Funktion an einer Stelle x₁
- Grenzwert des Differenzenquotienten von f an einer Stelle x₁
- erste Ableitung von f an einer Stelle x₁ (Schreibweise f ‘(x₁))
sind Synonyme.
Zur Bestimmung des Grenzwertes des Differenzenquotienten von f an einer Stelle x₁ ist eine Umformung des Differenzenquotienten zweckmäßig, in welcher der Nenner h herausgekürzt werden kann. Eine solche Umformung gelingt oft, insbesondere für Polynomfunktionen (aber nicht immer).