1) kritischer Wert
2) Korrekt
3) Korrekt
4) a) 156.20
b) 3
c)0.01
d) Sie die Nullhypothese ablehnen müssen. Die Bildungsabschlüsse unterscheiden sich signifikant zwischen Personen mit und ohne Migrationshintergrund.
↧
Antwort ausgewählt: Induktive Statistik - Nationales Bildungspanel
↧
Antwort ausgewählt: Induktive Statistik -empirische Sozialforschung
1) a) Richtig
b) Falsch
2) a) ca. 0.057
b) ca. 0.20
c) Die gemessene Lebenszufriedenheit der Gruppe A liegt auf dem 5%-Niveau statistisch signifikant unter...
d)Die gemessene Lebenszufriedenheit der Gruppe B liegt auf dem 5%-Niveau statistisch signifikant über...
↧
↧
Antwort ausgewählt: Induktive Statistik - Fiktive Beförderungsquoten in Unternehmen
1. Die fälschliche Ablehnung der Nullhypothese nennt man Beta-Fehler
Die fälschliche Ablehnung der Alternativ/Forschungshypothese nennt man Alpha-Fehler.
2. a) 0.50
b) 0.48
3) a) 4.95
b) 0.03
c) Das Beispiel zeigt, dass nicht alleine die Signifikanz eine Rolle spielt, sondern auch die Relevanz eines Effekts, denn die Teststatistik ist umso eher signifikant, je größer die Stichprobe.
↧
Kommentiert: Dimension von im(F1+F2)
Nicht schlimm, danke trotzdem :*
↧
Beantwortet: Zeigen Sie, dass a×b zu a und b orthogonal ist.
Aloha :)
Du sollst Folgendes zeigen:$$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec a=0\quad;\quad(\vec a\times\vec b)\cdot\vec b=0$$Das kannst du entweder direkt ausrechnen (vgl. MontyPythons Vorschlag) oder du arbeitest über die Eigenschaften der Determinante. Du kannst das Vektorprodukt mit Hilfe von \(2\times2\)-Determinanten wie folgt schreiben:$$\vec a\times\vec b=\left(\begin{array}{c}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\left|\begin{array}{c}a_2 & b_2\\a_3 & b_3\end{array}\right|\\\left|\begin{array}{c}a_3 & b_3\\a_1 & b_1\end{array}\right|\\\left|\begin{array}{c}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\left|\begin{array}{c}a_2 & b_2\\a_3 & b_3\end{array}\right|\\-\left|\begin{array}{c}a_1 & b_1\\a_3 & b_3\end{array}\right|\\\left|\begin{array}{c}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{array}\right|\end{array}\right)$$Das Minus-Zeichen bei der mittleren Determinante kommt durch Vertauschung der beiden Zeilen zustande. Wenn man nun dieses Vektorprodukt skalar mit einem Vektor \(\vec c\) multipliziert, kommt raus:
$$\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c=\left|\begin{array}{c}a_2 & b_2\\a_3 & b_3\end{array}\right|\cdot c_1-\left|\begin{array}{c}a_1 & b_1\\a_3 & b_3\end{array}\right|\cdot c_2+\left|\begin{array}{c}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{array}\right|\cdot c_3=\left|\begin{array}{c}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_2 & c_3\end{array}\right|$$Die \(2\times2\)-Matrizen multipliziert mit den Komponenten von \(c_1,c_2,c_3\) bilden gerade die Entwicklung der \(3\times3\)-Determinante nach der letzten Spalte.
Wenn \(\vec c=\vec a\) oder \(\vec c=\vec b\) ist, hat die Determinante 2 gleiche Spalten und ihr Wert ist \(=0\).
↧
↧
Beantwortet: Wie lauten die Extrema der Funktionsschar fa(x)=e^(2x) -ax^(x) für a größer als 0
fa ( x ) = e^(2x) -ae^(x)
Allgemein Ableitung e Funktion
(e ^term ) ´ = e ^term * ( term ´ )
Außerdem Summandenweise Ableitung
fa ´( x ) = e^(2x) * 2 - a * e^(x) * 1
fa ´( x ) = 2 * e^(2x) - a * e^(x)
↧
Kommentiert: Verteilung von der Summe von Zufallsvariabeln
@anonimi: Du hattest selbst die alte falsch gestellte Frage als erledigt bezeichnet. Sie wurde gelöscht, nicht wie erst gemeldet geschlossen.
Hier deine Fragen: https://www.mathelounge.de/user/anonimi/questions
Du kannst auch bei 5-Tage-History nach Kommentaren usw. von dir suchen.
↧
Kommentar bearbeitet: Knickfreier Übergang von Hügel in parabelförmige Bahn. Ansatz: Scheitelpunktform der Parabelgleichung
Möglich wäre, dass die Ortskurve alle denkbaren Scheitelpunkte gesucht ist. Alternativ: Es ist in der Frage eine Skizze vorhanden, in der man zumindest eine Koordinate des Scheitelpunktes der Parabel ablesen kann. Aber sprch scheint sich nicht mehr für die Frage zu interessieren.
@MP und ja: Reaktionen kommen selten von denen, die hier die Fragen eingestellt haben. Daher gibt es Möglichkeiten die Zeit sinnvoller zu nutzen. Ich bin auch seltener hier. Die letzte Spalte in der Mitgliederliste gibt an, wie oft eine Antwort oder eine Frage von dir angezeigt wurde. Diese Zahl wächst erstaunlicherweise ständig. Vermutlich wird viel unnötiges Herumklicken oder gar maschinelles Klicken mitgezählt. "Intelligente" Reaktionen von Fragestellern sind schöner.
↧
Geschlossen: Wie sortiert man 5 Elemente mit sieben Vergleichen?
könnte mir jemand zeigen, wie man fünf Elemente mit sieben Vergleichen sortieren kann.
Am besten an der Zahlenfolge 5 4 3 2 1, weil ohne Bezeichnungen fand ich die Interneterklärungen nicht so verständlich.
MfG Fragesteller
↧
↧
Bearbeitet: Lineare Abbildungen /Kanonische Basis
Aufgabe:
Gegeben sei die lineare Abbildung
$$ \mathcal{L}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad v=\left(\begin{array}{l} {v_{1}} \\ {v_{2}} \\ {v_{3}} \end{array}\right) \mapsto \mathcal{L}(v)=\left(\begin{array}{c} {v_{2}-2 v_{3}} \\ {2 v_{1}-v_{2}+4 v_{3}} \\ {v_{1}-v_{2}+3 v_{3}} \end{array}\right) $$
(a) Geben Sie die darstellende Matrix \( M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}}(\mathcal{L}) \) von \( \mathcal{L} \) bezüglich der kanonischen \( \mathcal{E} \) Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) an.
(b) \( \mathcal{B}=\left(b_{1}=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right), b_{2}=\left(\begin{array}{c}{-2} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right), b_{3}=\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right)\right) \) ist ebenfalls eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} . \) Bestimmen Sie die Basis-
wechselmatrizen von der Basis \( \mathcal{B} \) zur Basis \( \mathcal{E} \) und umgekehrt.
(c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( M_{B}^{B}(\mathcal{L}) \) von \( \mathcal{L} \) bezüglich der Basis \( \mathcal{B} \).
(d) Bestimmen Sie eine Basis des Bildes sowie eine Basis des Kerns von \( \mathcal{L} \)
Problem/Ansatz:
Kann mir jmd. weiterhelfen, wie man diese Aufgaben löst?
↧
Antwort bearbeitet: schwierige Extremwertaufgabe
Das Schiff hat einen gewissen Ölvorrat von m
( Masse in Tonnen )
Jetzt fährt das Schiff mit einer Geschwindigkeit von v los.
Der Verbrauch ist in Abhängigkeit von v
E ( v ) = a * v^3 + b ( E in Tonnen pro Stunde )
Die Zeit t für die der Ölvorrat reicht ist
E * t = m ( Verbrauch * Zeit = Masse )
umgestellt
t = m / E
Die Strecke ist t * v
s = v * t
umgesellt nach t
t = m / E
und t eingesetzt
s = v * m / E
E eingesetzt
s ( v ) = v * m / ( a * v^3 + b )
s ( v ) = v * m / ( 10 * v^3 + 2 )
Das Maximum von s ist gesucht
1.Ableitung
s ´( v ) = m * ( b - 2av^3 ) / (av^3 + b) ^2
m * ( b - 2av^3 ) / (av^3 + b) ^2 = 0
Zähler = 0 bei
b - 2av^3 = 0
v = 3√ ( b / (2a) )
a =. 0.01
b = 2
v = 4.64 km/ h
realistisch ?
b.)
m = 1000 to
s ( v ) = 4.64 * 1000 / ( 0.01 * (4.64)^3 + 2 )
s ( 4.64 ) = 1547 km
Das Ganze ist noch nicht realistisch.
Fehler meinerseits ? Einheiten ?
Denkfehler ?
Da muß ich später noch einmal dran.
PS.
Ich sehe gerade, der andere Antwortgeber
hat daselbe heraus;
s ( v ) = v * m / ( av^3 + b )
↧
Kommentiert: Wie groß ist das Verhältnis von Kupfer und Zink
Man könnte das auch k und z nennen anstatt x und y. Dann ist klarer, welche Variable für Kupfer und welche für Zink ist.
↧
Beantwortet: Induktive Statistik: PISA Studie: Mathematikkompetenzen werden als normalverteilt angenommen
Hallo,
auch für spätere Aufgaben:
Mit diesem Online-Rechner
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm
erhältst du die Ergebnisse von dötschwo (auf 5 Kommastellen gerundet) selbst.
Eingaben:
| μ
| σ
| x0 | x1 | |
| 1. | 532,21 | 96,47 | -∞ | 650 |
| 2. | 532,21
| 96,47
| 450 | ∞
|
| 3. | 532,21
| 96,47
| 373.21 | 690.21 |
| 4. | 532,21 | 96,47
| 532,21 | ∞
|
Bei 4. ist das Ergebnis 0,5 natürlich auch ohne Rechnung klar.
Gruß Wolfgang
↧
↧
Kommentiert: Extremwertaufgabe 2 Supermärkte
Ich habe da wo du B hast A gehabt und dem entsprechend auch die Formel aufgestellt. vom aufbau her hab ich, also die erste genommen
↧
Antwort ausgewählt: Binomischer Lehrsatz im Unterricht
Aloha :)
Ich habe zwar keine pädagogische Ausbildung, schreibe aber trotzdem mal auf, wie ich den binomishchen Lehrsatz einführen würde...
1) Binomialkoeffizient über seine Bedeutung einführen
Beispiel 1: Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus der Menge \(\{A,B,C,D\}\) ein Objekte auszuwählen? Antworten der Schüler einsammeln: \(A,B,C,D\).
Beispiel 2: Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus der Menge \(\{A,B,C,D\}\) zwei verschiedene Objekte auszuwählen? Antworten der Schüler einsammeln: \(AB,AC,AD,BC,BD,CD\).
Schreibweise einführen: \(\binom{n}{k}\) ist die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten genau \(k\) auszuwählen. Man sagt für \(\binom{n}{k}\) oft "k aus n" oder im Englischen "n choose k" (=> Hinweis auf Taste [nCr] für "n Choose r" auf dem Taschenrechner, Schüler eventuell 4nCr1 und 4nCr2 nachrechnen lassen.)
Ergebnis der Beispiele in neuer Schreibweise festhalten: \(\binom{4}{1}=4\quad;\quad\binom{4}{2}=6\).
2) Besonderheiten besprechen
\(\underline{\binom{n}{n}=1}\), denn es gibt genau 1 Möglichkeit, um alle Elemente auszuwählen.
\(\underline{\binom{n}{0}=1}\), denn es gibt genau 1 Möglichkeit, kein Element auszuwählen. Vielleicht hier ein Hinweis auf die Megenlehre, dass die leere Menge auch eine Menge ist.
3) Bildungsgesetze für den Binomialkoeffizenten herleiten
Wir haben \(n\) Objekte in einer Menge \(M\). Es gibt \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten, daraus genau \(k\) Elemente auszuwählen. Wie ändert sich diese Anzahl, wenn wir die Menge \(M\) um ein weiteres Objekt auf \(n+1\) Objekte erweitern? Was ist also \(\binom{n+1}{k}\)?
1. Fall: Das neue Element wird nicht ausgewählt. Dann müssen alle \(k\) Elemente aus den bisherigen \(n\) Elementen gewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten.
2. Fall: Das neue Element wird ausgewählt. Dann müssen nur noch \(k-1\) Elemente aus den bisherigen \(n\) Elementen ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{n}{k-1}\) Möglichkeiten.$$\Rightarrow\quad\underline{\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}}$$
Beispiel 3: Aus der Menge \(\{A,B,C,D,E\}\) sollen 2 Elemente gewählt werden. Antworten der Schüler einsammeln: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Darauf hinweisen, dass es 10 Möglichkeiten sind. Das Bildungsgesetz nachrechnen:$$10=\binom{5}{2}=\binom{4}{2}+\binom{4}{1}=6+4$$
4) Pascal'sches Dreieck erklären
Das in (3) gefundene Bildungsgesetz im Pascal'schen Dreieck festigen: "Die beiden darüber stehenden Zahlen werden addiert."$$\begin{array}{c}1\\1 \;\; 1 \\ 1 \;\; 2 \;\; 1\\ 1 \;\; 3 \;\; 3 \;\; 1\\ 1 \;\; 4 \;\; 6 \;\; 4 \;\; 1\\ 1 \;\; 5 \;\; 10 \;\; 10 \;\; 5 \;\; 1\end{array}\quad\quad\begin{array}{c}\binom{0}{0}\\\binom{1}{0} \;\; \binom{1}{1} \\ \binom{2}{0} \;\; \binom{2}{1} \;\; \binom{0}{2}\\ \binom{3}{0} \;\; \binom{3}{1} \;\; \binom{3}{2} \;\; \binom{3}{3}\\ \binom{4}{0} \;\; \binom{4}{1} \;\; \binom{4}{2} \;\; \binom{4}{3} \;\; \binom{4}{4}\\ \binom{5}{0} \;\; \binom{5}{1} \;\; \binom{5}{2} \;\; \binom{5}{3} \;\; \binom{5}{1} \;\; \binom{5}{0}\end{array}$$Jetzt kannst du noch auf die Symmetrie hinweisen, dass man die Zeilen im Pascal'schen Dreieck von links nach rechts oder umgekehrt lesen kann:$$\underline{\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}}$$
5) Formeln zur schnelleren Berechnung herleiten (evtl. als Hausaufgabe?)
Führe die "bekannte" Form des Binomialkoeffizienten ein: \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\)
Zeige, dass die rechte Seite alle unsere bisher gefundenen Zusammenhänge korrekt beschreibt:
$$\binom{n}{0}=\frac{n!}{0!\cdot(n-0)!}=\frac{n!}{1\cdot n!}=1$$$$\binom{n}{n}=\frac{n!}{n!\cdot(n-n)!}=\frac{n!}{n!\cdot1}=1$$$$\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!\cdot(n-(k-1))!}$$$$\phantom{\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}}=\frac{n!}{k\cdot(k-1)!\cdot(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!\cdot(n+1-k)\cdot(n-k)!}$$$$\phantom{\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}}=\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1-k}\right)\frac{n!}{(k-1)!\cdot(n-k)!}$$$$\phantom{\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}}=\frac{n+1}{k\cdot(n+1-k)}\cdot\frac{n!}{(k-1)!\cdot(n-k)!}$$$$\phantom{\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}}=\frac{(n+1)\cdot n!}{k\cdot(k-1)!\cdot(n-k)!\cdot(n+1-k)}$$$$\phantom{\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}}=\frac{(n+1)!}{k!\cdot((n+1)-k)!}=\binom{n+1}{k}$$$$\binom{n}{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot(n-(n-k))!}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=\binom{n}{k}$$
6) Binomischen Lehrsatz erklären
$$(a+b)^n=\underbrace{(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)\cdots(a+b)}_{n\mbox{ Faktoren}}$$Beim Ausmultiplizieren mittels des Distributivgesetzes wird aus jeder Klammer entweder ein \(a\) oder ein \(b\) genommen. So erhalten wir \(n\) Faktoren, die miteinader multipliziert werden. Dabei treten folgende Produkte auf:$$a^n\;,\;a^{n-1}b\;,\;a^{n-2}b^2\;,\;a^{n-3}b^3\;,\;\ldots\;,\;a^2b^{n-2}\;,\;ab^{n-1}\;,\;b^n$$Mittels des Binomialkoeffizienten können wir bestimmen, wie oft jedes dieser Produkte auftaucht. \(a^n\) erhalten wir nur, wenn wir aus jeder Klammer ein \(a\) auswählen. Dafür gibt es \(\binom{n}{0}=1\) Möglichkeit. \(a^{n-1}b\) erhalten wir, wenn wir aus genau einer der \(n\) Klammern ein \(b\) auswählen und aus allen anderen Klammern ein \(a\). Dafür gibt es \(\binom{n}{1}=n\) Möglichkeiten. \(a^{n-2}b\) erhalten wir, wenn wir aus genau zwei der \(n\) Klammern ein \(b\) auswählen und aus allen anderen Klammern ein \(a\). Dafür gibt es \(\binom{n}{2}\) Möglichkeiten... Diese Feststellung fassen wir im binomischen Lehrsatz zusammen:$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$Als Beispiel würde ich \((a+b)^3\) zunächst mit dem Pascal'schen Dreieck und dem binomischen Lehrsatz hinschreiben und danach explizit ausrechnen, damit die Schüler sehen, dass dasselbe Ergebnis rauskommt.
7) Induktionsbeweis des binomischen Lehrsatzes (evtl. als Hausaufgabe)
Obwohl der binomische Lehrsatz, so wie er hier eingeführt wurde, völlig offensichtlich ist, könnte man ihn noch mittels vollständiger Induktion beweisen. Aber vermutlich wird dafür die Zeit im Unterricht nicht mehr reichen. Daher kannst du das vielleicht als Hausaufgabe aufgeben...
↧
Antwort ausgewählt: Wie wurde dieser Logarithmus hier umgeformt?
\( f^{\prime}(x)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\sqrt{x} \log x) =-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \log x-\sqrt{x} \frac{1}{x} \)
Das war ja jetzt erst mal nur die Produktregel. Damit man ausklammern kann wäre beim
Subtrahenden sowas wie \(=-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \) gut , also die √x entsprechend erweitern
\(=-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \log x-\frac{2x}{2 \sqrt{x}} \frac{1}{x} \)
Jetzt das x kürzen
\(=-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \log x-\frac{2}{2 \sqrt{x}} \)
Jetzt ausklammern gibt:
\(=-\frac{1}{2 \sqrt{x}}(\log x+2) \)
↧
Antwort bearbeitet: Anzahl aller k–dimensionalen Unterräume von V für 1 ≤ k ≤ n ?
Hallo ant,
Ich habe letzt eine ähnliche Frage beantwortet. Schau mal hier:
https://www.mathelounge.de/554374/wie-viele-invertierbare-2x2-matrizen-mit-eintragen-in-gibt
Du solltest wissen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Also auch jeder Untervektorraum. Wir betrachten hier den Körper \( K=\mathbb{F}_q \) und den VR \( V=K^n\)
Für \(k=0\) bzw. \( k=n \) ist dir bestimmt bewusst, dass es nur einen k-dim. UVR gibt. Nämlich den Nullraum bzw. V selbst.
Betrachten wir mal \( 0<k<n \):
Ein k-dim. UVR hat eine Basis der Länge k. Wie viele linear unabhängige Vektorsysteme der Länge k kannst du wählen? Unser Vektorraum hat \( q^n \) Elemente. Den ersten Vektor \( v_1 \) kannst du beliebig wählen, außer halt den Nullvektor, der hat in einer Basis nämlich nichts zu suchen, also hast du \( q^n -1 \) Möglichkeiten für den ersten Vektor. Der zweite \( v_2 \) muss jetzt linear unabhängig zum ersten sein, es darf also nicht
$$ v_2 = \lambda v_1, \quad \lambda \in K $$
gelten. K hat q Elemente also bleiben für den zweiten Vektor \( q^n - q \) Wahlmöglichkeiten. Ein dritten Vektor \( v_3 \) muss linear unabhängig sein von den ersten beiden sein, also
$$ v_3 \neq \lambda v_1 + \mu v_2, \quad \forall \lambda,\mu \in K$$
Bleiben für diesen noch \( q^n - q^2 \) Möglichkeiten. Dieses Spiel setzt du jetzt fort.
Insgesamt erhältst du
$$ (q^n -1)(q^n - q)\dotsm(q^n-q^{k-1}) $$
---
So jetzt erzeugen diese Systeme alle einen UVR, aber die Basis ist ja im allgemeinen nicht eindeutig. Einige Systeme erzeugen den gleichen... Wie viele Basen kannst du in einem k-dim. UVR wählen? Gleiche Überlegung wie oben, das sind
$$ (q^k - 1)(q^k-q)\dotsm(q^k - q^{k-1})$$
Möglichkeiten.
---
Ergebnis:
$$\frac{(q^n -1)(q^n - q)\dotsm(q^n-q^{k-1})}{(q^k - 1)(q^k-q)\dotsm(q^k - q^{k-1})}$$
Bei Fragen gerne melden!
↧
↧
Kommentiert: Extremwertaufgabe 2 Supermärkte
Ich würde zusätzlich annehmen, auch wenn die Aufgabenstellerin vergessen hat sich darüber zu äussern, dass die grosse Strasse geradlinig verläuft.
↧
Kommentiert: Gegeben ist die Funktion f(x)=1,8*(x-3)²+4
Hinweis: Sie müssen die Funktionsgleichungen ohne Klammern darstellen.
Das stimmt nicht!
↧
Kommentiert: Anzahl der Möglichkeiten Hotel
Wenn man 60^4 rechnet macht man zwei Fehler. Man tut so als könne man ein Zimmer auch mehrfach auswählen, was sicher keinen Sinn macht und man tut so als würde die Reihenfolge der Auswahl der 4 Zimmer eine Rolle spielen. Bei der Auswahl der Zimmer spielt die Reihenfolge noch keine Rolle. Höchstens bei der Vergabe der 4 Zimmer an 4 Gäste ist die Reihenfolge evtl. wichtig.
↧