Antwort bearbeitet: Stetig differenzierbar

Hallo,

f(x) = x · e^{- |x|}

zuerst betragsfrei schreiben   [ |x| = x für x ≥ 0 und |x| = - x  für x<0 ]

f(x) = x · e^{- x}  für x ≥ 0

        x · e ^x   für x < 0

Für x ≠ 0 ist die eingeschränkte Funktion f_e als Komposition differenzierbarer Funktionen ebenfalls differenzierbar mit 

 f_e '(x) = e^-x · (1 - x)   für  x>0

             e^x · (x+1)      f0r  x<0    [ ergibt sich aus der Produktregel [u•v] ' = u'•v + u•v' ]

An der Nahtstelle x=0 ist eine solche Funktion f genau dann differenzierbar, wenn

 f dort stetig ist und  lim_x→0+  f_e'(x)  = lim_x→0- f_e' (x) gilt:

f stetig in x= 0: 

  lim_x→0+  f (x) = 0 =   lim_x→0-  f (x)  = f(0)

 lim_x→0+  f_e'(x)  =  lim_x→0-  f_e'(x)  =  1

→  f ist in ℝ differenzierbar mit

f '(x) = e^-x · (1 - x)   für  x≥0

             e^x · (x+1)      f0r  x<0    

 lim_x→0+  f '(x)  =  lim_x→0-  f '(x)  =  1 = f '(0)

f ' ist deshalb stetig in x=0 und damit in ℝ. Aso ist  f in ℝ "stetig differenzierbar"

wünsche dir frohe Weihnachten

Gruß Wolfgang